浅谈等体积法在求空间角中的应用

 昆山陆家高级中学     刘海琼

在新高考改革背景之下,对立体几何的要求越来越高，所占比例也越来越大，因此我们迫切的需要提高学生解决立体几何问题的能力。用综合法求空间角是高考考查的重点内容，也是难点。在立体几何学习中，用综合法求空间角的难点是不能根据定义法和三垂线法作出平面角， 这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法， 造成了同学们看图、 识图困难， 空间想象能力不强。

由于利用等体积法求点到平面的距离，不必考虑点在平面上的射影的位置在哪里，也不必为是否写错空间直角坐标系中点的坐标而忧虑重重，因此这种方法一直为大家所喜好，但是在教学中，我发现，许多的同学对于等体积法的认识仅仅是停留在求点面的距离上，对于求空间角很少会跟等体积法联系起来。实际上，对于涉及点面距的空间角问题，利用等体积法求空间角也是一种非常好的方法。

一、                      直线与平面所成的角

如图1所示，点是平面外一点，点为平面内一点，设直线与平面所成的角为，点P到平面的距离为，则

                  

例1：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA＝AD.

(1)求证：AF∥平面PEC；

(2)求二面角P－CD－B的大小；

(3)若AD＝2，CD＝2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值．

【解析】(1)证明：取PC的中点G，连接EG、FG，

∵F是PD的中点，∴FG∥DC，且FG＝DC，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，且AB＝DC，

∴FG∥AB，且FG＝AB，

又∵E是AB的中点，∴AE＝AB，

∴FG∥AE，且FG＝AE，

∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，

∵AF⊄平面PEC，GE⊂平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

(2)∵PA⊥平面ABCD，

CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，

∵PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，

∵PA＝AD，∴△PAD为等腰直角三角形，

∴∠PDA＝45°，

∴二面角P－CD－B的大小为45°.

(3)法一：由(2)知，△PAD为等腰直角三角形，

∵F是斜边PD的中点，∴AF⊥PD，

由(1)知，AF∥EG，∴EG⊥PD，

又由(2)知CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴CD⊥AF，∴CD⊥EG，

又∵PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，

∴EG⊥平面PCD，∴PG是直线PE在平面PCD上的射影，

∴∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，

在Rt△PAE中，PA＝2，

         

法二（等体积法）：设E到平面PCD的距离为，直线PE与平面PCD所成角为, 则.即 , ∴

∵由(2)知CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，∴ ∵, PD=2.因此

又∵

∴

∴直线PE与平面PCD所成角的正弦值为.

练习1. 如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，求直线AB与平面SBC所成角的正弦值

【解析】设A到平面SBC的距离为，AB与平面SBC所成的角为,

∵，

∴

 

二、                      二面角

如图，设二面角，若的距离为，点P到棱l的距离为,则，具体问题中再根据图形，判定是锐角还是钝角，以取舍值。

  

例2.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且边长为2，PD⊥平面ABCD，PD＝2，求：(1)二面角A－PB－C的余弦值．

【解析】：设A到平面PBC的距离为，点A到PB的距离为, 由.即 , ∴

∵PD⊥平面ABC, BC⊥DC，由三垂线定理得BC⊥PC，又因为∴.因此

 

同理可证AB⊥AP, ∴

∴

又因为二面角A－PB－C为钝角，∴

∴二面角A－PB－C的余弦值为．

练习2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-A1C-D的大小。

 

 

 

 

 

 

【解析】：设A到平面的距离为，点A到的距离为,再设正方体的边长为1.

由.即 ,

 ∴

∵DC⊥平面, ∴DC⊥，又因为∴.因此

∵ ∴

∴

又因为二面角A-A1C-D为锐角， 

∴二面角二面角A-A1C-D为

参考文献

[1]       卢平林.例说等体积法求空间角[J].数学通讯.2005(10):14-15

[2]       彭建开.求空间角难点的深度解析[J].《广东教育（高中版）》.2014（05）